Solución Problema 3: La carrera más igualada del mundo

¡Muy buenas a todos gente!

A continuación os dejo la solución al problema 3: la carrera más igualada del mundo, el cual seremos capaces solucionar haciendo uso de los conceptos de potencia e inversión los cuales estoy segurísimo que domináis a la perfección.

Deducimos que se trata de un caso de inversión porque si somos un poco perspicaces, que lo somos... nos daremos cuenta de que la condición para hallar la posición de Bruno no es otra cosa que la potencia de inversión, por tanto el ejercicio trabaja el concepto de potencia, en el que está basado la inversión. Además, si nos fijamos bien en nuestro problema podemos distinguir los distintos elementos de la inversión, un centro de inversión 0, dos puntos normales A y B y el inverso A1 colocados en la recta que une el centro 0 con el punto A original. Por tanto, es innegable que se trata de un problema de inversión, el cual vamos a solucionar mediante el siguiente procedimiento:

- Representamos un punto auxiliar C cualquiera:

- Tenemos que hallar primero el inverso de C (Es decir, C1) Para ello hallamos la mediatriz del segmento AC y la mediatriz del segmento AA1, y donde se crucen ambas mediatrices tendremos el centro de la circunferencia que pasa por A, A1 Y C, y obtendremos el punto C1:

- Unimos C1 con B

- Trazamos las mediatrices de CC1 y BC1 obteniendo así el punto I

- Con centro el punto I donde se encuentran las mediatrices, trazamos una circunferencia que pasa por C, C1 y por B, obteniendo el punto buscado B1.

En la siguiente imagen podemos modificar algunos de las posiciones iniciales de los puntos (corredores) y de esta forma vemos que de una forma o de otra esta carrera inevitablemente acabaría en empate, ya que la potencia es constante y siempre se cumplirá que:

    0A x 0A1 = 0B x 0B1

Con esto me despido hasta el siguiente problema.

That's all Folks!!!

Solución problema 2: El problema más antiguo de la historia

Solución problema 2: El problema más antiguo de la historia

¡Muy buenas a todos gente!

A continuación os dejo la solución al problema más antiguo de la historia, que aun siendo muy antiguo estoy seguro de que con vuestra capacidad resolutiva no os ha llevado demasiado tiempo resolverlo.

Pues como explicamos anteriormente en el blog se trata de la aplicación de una herramienta que os he introducido recientemence, la mediatriz.

Recordamos que una de las aplicaciones de la mediatriz consistía en la posibilidad de definir el circuncentro de un polígono cíclico, y esa es la clave para resolver el problema de hoy, ya que lo que buscamos es el punto donde colocar la mesa extra y que equidiste de cada uno de los pupitres individuales de los 5 hermanos.

¿Cómo conseguimos definir el circuncentro?

De una forma muy sencilla, unimos cada uno de los puntos que representan los pupitres individuales con un segmento y trazamos la mediatriz de cada uno de ellos, y el punto en el que coinciden todas ellas es el circuncentro y por tanto el punto donde deberá ir colocada la nueva mesa extra.

Solución Problema 1: La tarta de mi primo Paco Thales

Para poder solucionar este ejercicio necesitaremos basarnos en el Teorema de Thales:

Por un lado podemos usar el Teorema de Thales para llevar a cabo la división de forma gráfica de un segmento en partes iguales y así resolver el primer apartado del problema.

Esta división se realiza dibujando desde un límite del segmento a que queremos dividir (por ejemplo el vértice A) un segmento auxiliar con la dirección y longitud que queramos y dividido en el numero de partes  que queramos dividir el segmento a. Una vez tengamos ese nuevo segmento auxiliar (segmento aux) con la dirección y longitud que hemos querido y con el numero de divisiones que queramos unimos el límite de este segmento auxiliar con el otro límite del segmento a (vértice B) creando así un nuevo segmento auxiliar (segmento aux') y ahora desde cada una de las divisiones del segmento aux que hicimos al principio trazamos paralelas al segmento aux' hasta que corten al segmento a inicial, dividiendo de esta forma el segmento a en un mismo número de partes iguales que hemos dividido el segmento aux.

En nuestro caso al tratarse de una tarta de 6 metros de lado a la cual queremos convertir en una tarta de 5 metros de lado a trazaremos un segmento auxiliar con 6 separaciones de la misma medida, de tal forma que la división que realizaremos aplicando tales divida la tarta en 6 partes de 1 metro cada una y solo tendremos que unir 5 de esas divisiones para conseguir nuestro nuevo lado a' de 5 metros y así conseguiremos una tarta que entre en la caja.

A través de la siguiente imagen que he creado con el software "Geogebra" podeis comprobar moviendo el punto K, que no importa la dirección ni la longitud que le hemos dado al segmento auxiliar que hemos utilizado para realizar la división de la tarta, si no que solo influye que las separaciones de este segmento tengan la misma longitud.

Por otro lado tenemos la relación que existe entre los segmentos que nos enuncia Thales, la cual utilizaremos para resolver el segundo apartado de este problema.

”Si cortamos dos rectas cualesquiera por varias rectas paralelas,los segmentos correspondientes en ambas son proporcionales,es decir, se corresponden en la igualdad ,en la suma y en la resta.”

En nuestro caso conociendo la medida del nuevo lado inferior a’ mediante el Teorema de Thales seremos capaces de calcular los nuevos lados b’ y c’.

a/c = a’/c’                           6.00/6.46 = 5/c’                                c’ = 5.38
a es a a' como c es a c'

c’/b’ = c/b                          5.38/b’ = 6.46/ 3.20                          b’ = 2.67

c' es a c como b' es a b